Si dices que ya lo hace en la calle (aunque sea a veces) lo que deberías hacer es premiarle cuando lo haga en la calle (le puedes dar un trozo de galleta y decirle "muy bien") y regañarle (con un "NO" firme es suficiente) cuando lo haga en casa, con eso y un poco de tiempo debería ser suficiente.
En cuanto a la posibilidad de acostumbrarle a que lo haga en un cajón, pues depende de si estás dispuesta a que toda la vida haga sus necesidades en casa. No es dificil acostumbrale (con presentarle la caja y premiarlo cada vez que lo haga alli es suficiente) el problema será si algún día quieres que deje de hacerlo, o cuando viajes con el....
También es útil limpiar muy bien las zonas la casa "afectadas"

para que el olor no haga que le entren ganas de nuevo.